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(고1) 수학-3-10 세 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이

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세 점의 좌표로 삼각형의 넓이 구하는 공식 (사선공식, 신발끈공식)

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세 점의 좌표로 삼각형의 넓이 구하는 공식 (사선공식 신발끈공식)

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(총정리) 삼각형의 넓이 구하는 공식

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삼각형 넓이 공식 유도

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Summary of article content: Articles about 세 점을 알 때 삼각형의 넓이 10초만에 구하기 삼각형의 공식은 1/2 * 밑변 * 높이만 있는 것이 아니다. 좌표평면상의 임의의 세 점을 알 때 간단히 삼각형의 넓이를 구하는 공식이다. …
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세 점의 좌표로 삼각형의 넓이 구하는 공식 (사선공식, 신발끈공식)

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학교에서는 안 알려주지만 학원에선 반드시 알려주는 공식 들이 있죠. 오늘 다뤄볼 내용은 그 중 하나인 신발끈 공식입니다. 삼각형의 넓이를 구할 때, 세 점의 좌표로 바로 구할 수 있는 방법이에요. 내신에서 빈출되는 유형인데, 서술형으로 나오는 경우에는 문제의 의도와 맞지 않기 때문에 공식 쓰는 걸 인정 안해주는 게 일반적이긴 하죠. 그렇지만, 계산이 맞는지 검증하는 용도로 쓰면 되고, 객관식일 때는 시간을 많이 단축시켜주니 모르면 나만 손해겠죠?

신발끈 공식

위에도 썼지만, 신발끈 공식은 좌표평면 상에서 꼭짓점의 좌표를 알 때 다각형의 면적을 구할 수 있는 방법입니다. 이따 사용방법을 보면 알겠지만, 구할 때 삼각형의 각 꼭짓점의 좌푯값을 교차하여 곱하는 모습이 신발끈을 묶을 때와 같아 이러한 이름이 붙었습니다. 가우스의 면적 공식이나 사선 공식으로도 불립니다.

역사를 잠깐 살펴보자면, 신발끈 공식은 1769년에 수학자 마이스터 알베르트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724-1788)가 발견했으며, 1795년에 가우스도 독립적으로 발견하였습니다. 다각형을 여러 개의 삼각형으로 나누는 방식으로 증명할 수 있으며, 그린 정리의 특수한 형태로 볼 수도 있습니다.

이 공식은 두 개 이상의 변들이 서로 교차하는 형태의 다각형이 아니라면, 볼록다각형이든 오목다각형이든 관계없이 적용시킬 수 있습니다. 볼록다각형/오목다각형에 관한 포스팅은 다음에 또 할게요 🙂

사용방법

삼각형의 넓이를 구해봅시다.

1. 삼각형의 세 꼭짓점을 나열합니다.

이 때 맨 앞에 쓴 꼭짓점을 맨 뒤에 한 번 더 써줍니다.

2. 같은 형광펜 색깔끼리 사선으로 곱해서 더해줍니다.

3. 계산한 값들끼리 뺀 다음 절댓값을 씌워주고 1/2배 해주면 끝..!

일반적으로 꼭짓점을 나열할 때 시계방향/혹은 반시게방향으로 나열해야 하는데, 삼각형의 경우에는 무관하니 아무렇게나 쓰셔도 됩니다.

실전 : 신발끈 공식으로 삼각형 넓이 구하기

삼각형은 꼭짓점이 세 개 뿐이라 사실은 어떤 순서로 적든 무관합니다. 그렇지만 맨 앞에 쓴 꼭짓점을 뒤에 한 번 더 쓰기 때문에, 원점과 같이 계산하기 쉬운 좌표를 두 번 쓰게끔 배치하는 게 편합니다.

어떤 순서로 적든 넓이가 같게 나옵니다.

사선공식 증명 (신발끈 공식 증명)

삼각형에 한해서 증명해볼게요.!

하는 방법은 교과서에서 실린 방법과 동일합니다.

1. 점B와 점C를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.

2. BC를 밑변으로 둘 거니까, 거리도 구해보죠.

3. 점A로 부터 직선 BC까지의 거리를

높이로 계산합니다.

4. 밑변과 높이를 곱한다음 2로 나누면 끝..!

어떤가요? 쓰고보니 똑같죠?ㅎㅎ

학년이 올라가면 삼각형의 넓이를 구하는 공식이 조금 더 늘어 난답니다.

궁금하다면 아래 포스팅을 참고해보세요.^^

https://ladyang86.tistory.com/49

그럼 다음에 또 유용한 포스팅으로 만나요.!

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(총정리) 삼각형의 넓이 구하는 공식

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(총정리) 삼각형의 넓이 구하는 공식

이 포스팅은

삼각형의 넓이를 구하는 공식과 그 유도과정을

초,중,고 모든 학생을 망라하여 총정리한 글 입니다.

현업에서 수학을 많이 쓰는 사람으로서,

그간 제가 해오던 방식대로 수학적 사고 과정을 고스란히 담아내면

많은 학생들에게 도움이 되지 않을까하여 이렇게 글을 씁니다.

이 글이 필요한 학생은

1. 삼각형의 넓이를 구하는 여러 방법을 알고싶은 학생

2. 도형에 대한 감이 없는 학생

3. 도형에 대한 자신이 없는 학생

입니다.

2. 삼각형의 넓이구하는 공식

삼각형의 넓이 구하는 공식 정리: 총 6가지 공식

삼각형 넓이 구하는 공식은 총 여섯가지로 요약할 수 있습니다.

특히 공식 3)을 헤론의 공식이라 부릅니다.

위 공식에서 쓰인 여러 문자의 의미는 다음과 같습니다

S : 삼각형의 넓이

a, b, c : 삼각형의 세 변의 길이

h : 삼각형의 높이

θ : 삼각형에서 두 변의 끼인각

x₁,x₂,x₃,y₁,y₂,y₃ : 좌표평면에서 삼각형을 이루는 세 점의 좌표.

R : 삼각형의 외접원의 반지름

r : 삼각형의 내접원의 반지름

삼각형 넓이 공식 유도

1)삼각형의 넓이의 정의

식 1)은 초등학교 때 배운 삼각형의 넓의의 정의입니다. 따라서 따로 유도할 게 없습니다.

(엄밀히 말하면 사각형 넓이의 정의에서 파생되어 나온 것입니다.)

위와 같은 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱을 반으로 나눈 것 입니다. (정의)

2) 두 변과 그 끼인각을 이용한 넓이 계산

공식 2)는 1)을 제외한 나머지 식들 중 가장 근간이 되는 식 입니다.

나머지 식은 모두 이 식으로부터 나오므로 반드시 이해하시기 바랍니다.

공식 유도는 그리 어렵지 않습니다.

아래 그림과 같이, 삼각형의 두 변과 그 끼인각이 주어진 상황이 있습니다.

위 그림에서 삼각형의 밑변을 a로 보고, 그 때의 높이를 b와 θ로 표현하면,

아래 그림처럼 높이= bsinθ가 됩니다.

삼각형의 넓이의 정의 「밑변 곱하기 높이 나누기 2」를 적용하면

삼각형의 두 변 a, b와 그 끼인각 θ가 주어진 경우의 넓이 공식이 유도됩니다.

3) 세 변이 주어진 경우의 넓이(헤론의 공식 유도)

삼각형의 세 변이 주어진 경우 넓이 구하는 공식이 있습니다.

헤론에 의해 유도되었다해서 헤론의 공식으로 알려져 있는데요.

이제부터 헤론의 공식 유도를 하겠습니다.

단, 헤론의 공식은 외우지 마시고 유도과정과 아이디어만 잘 이해하시기 바랍니다.

아이디어는 간단합니다.

세 변으로부터 아무 끼인각 하나를 구해 공식 2)에 대입 하면 됩니다.

삼각형의 세 변이 주어졌을 때 한 각도를 구하는 방법으로는 코사인 제 2법칙 이 있습니다.

삼각형의 세 변이 주어진 아래 그림에서 (θ는 현재 모르는 값입니다.)

코사인 제 2법칙을 이용해 cosθ를 구하면

그런데 우리가 필요한 건 공식 2)에 대입할 수 있는 sinθ 입니다.

세 종류의 삼각비(sin, cos, tan) 중 하나만 주어지면 나머지 두 개는 자동적으로 구할 수 있습니다.

이와 관련된 공식이 아래 두 공식인데요,

우리는 위의 두 식 중 첫번째 식(제곱공식이라 불림)을 이용해 sinθ를 구해보겠습니다.

이를 공식 2)에 대입하면,

사실 여기까지만 해도 됩니다.

식을 보면 삼각형의 넓이가 세 변의 길이 a, b, c 만으로 나타내졌음을 알 수 있으니까요.

헤론은 이를 좀 더 기억하기 쉽게 하기 위해 임의의 매개변수 s를 도입 한 것 뿐입니다.

라 두면, 위 식은 아래와 같이 멋지게 바뀝니다.

(궁금하시면 직접 s를 대입해서 비교해보시길 바랍니다.)

4) 삼각형의 외접원의 반지름과 세 변이 주어졌을 때

위 그림에서 다음 식이 성립합니다.

이를 사인법칙 이라고 부릅니다.

사인법칙에서 sinC를 c와 R로 표현하면 다음과 같이 됩니다.

이제 이 식을 넓이 공식 2)에 대입할텐데요.

공식 2)에서 주어진 두 변을 a와 b라 보면 그 때의 끼인각은 위 그림에서 각C에 대응합니다. 따라서,

5) 삼각형의 내접원의 반지름과 세 변이 주어졌을 때

위 그림에서 분할된 세 삼각형의 넓이는

와 같습니다. 이들 세 넓이의 합이 전체 삼각형 넓이 S와 같으므로,

6) 삼각형의 세 꼭지점의 좌표가 주어졌을 때

i) 두 점으로 이뤄진 선분의 길이를 구합니다. 이 선분을 삼각형의 밑변으로 봅니다.

ii) 그 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하고,

ii) 그 직선과 나머지 한 점 사이의 거리를 구합니다. 이 거리가 삼각형의 높이가 됩니다.

iii) 삼각형의 넓이의 정의 (밑변 곱하기 높이 나누기 2)에 대입하여 넓이를 구합니다.

1) 밑변의 길이

위 그림에서 점 A(x1,y1), B(x2, y2)사이의 거리는 다음과 같습니다.

2) A, B를 지나는 직선의 방정식

A, B를 지나는 직선의 방정식의 기울기는 아래와 같습니다.

직선은 점 A(x1, y1)을 지나므로 이를 고려해 직선의 방정식을 구하면 다음과 같습니다.

표준형으로 표현된 위 식을 직선의 방정식의 일반형(ax+by+c=0꼴)으로 고치면 아래와 같습니다.

3) 삼각형의 높이

한 정점과 직선사이의 거리는 아래 공식을 이용해 구할 수 있습니다.

이를 이용해 점 C(x3, y3)와, 2)에서 구한 직선의 방정식 거리(삼각형의 높이)를 구할 수 있습니다.

iv) 넓이

공식 유도 완료.

이제 이 공식을 외우는 쉬운 방법 을 알려드리겠습니다.

먼저 다음과 같이 씁니다.

절댓값 안을 채울 때 윗줄에는 차례로 x1, x2, x3을 쓰고 마지막에는 처음에 썼던 x1을 씁니다.

아랫줄도 같은 방식으로 y1, y2, y3을 쓰고 마지막에 처음에 썼던 y1을 씁니다.

그 후, 아래와 같이 화살표를 긋습니다.

먼저 x1, x2, x3 에서 오른쪽 아래로 화살표를 긋습니다. (붉은색 화살표)

그렇게 이뤄진 쌍끼리 곱해서 더합니다. (x1y2 + x2y3 + x3y1)

다음으로 끝의 x1부터 시작해서 x3, x2에서 왼쪽 아래로 화살표를 긋습니다. (파란색 화살표)

그렇게 이뤄진 쌍끼리 곱해서 더합니다. (x1y3 + x3y2 + x2y1)

위의 경우 ‘오른쪽’이기 때문에 + 부호를,

아래의 경우 ‘왼쪽’이기 때문에 – 부호를 붙여주고, 이들을 더합니다.

그러면 다음 공식이 만들어집니다.

정리

4. 정리

이번 포스팅에서는

1. 삼각형의 여러가지 공식과,

2. 공식 유도 방법

에 대해 알아보았습니다.

특히 공식 2)는 가장 기본이 되는 식이며,

이 공식으로부터 다른 여러 공식들이 유도되므로 매우 중요한 공식입니다.

헤론의 공식이라 불리는 공식 3)의 경우, 공식을 외우려 하지 마시고

세 변의 길이가 주어졌을 때 삼각형의 넓이를 구하는 과정을 이해하기 바랍니다.

i) 세 변으로부터 나머지 한 각의 코사인값을 구하고(코사인 제 2법칙)

ii) 그 코사인값으로부터 사인값을 구한 뒤(제곱공식)

iii) 공식 2)에 대입하면 됩니다.

삼각형의 넓이는 도형에서 가장 기본입니다.

따라서 위 공식 유도 과정을 반드시 이해해서

다양한 방법으로 삼각형의 넓이를 구할 줄 알아야합니다.

수학을 잘 하기 위해서는 부지런히 생각하고 이해해야 합니다.

단순히 공식만 암기해서는 응용문제를 풀 수 없기 때문에 꼭 원리를 이해하도록 노력하시기 바랍니다.

수학 성적은 시간을 들인만큼 돌아오며, 이걸 게을리하면 나중에 감당할 수 없는 빚으로 다가올 수 있습니다.

꼭 명심하시기 바랍니다.

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좌표평면 위의 삼각형(도형)의 넓이 구하기 (개념+수학문제)

| 같이 보면 좋은 글

📄 [중1-1] 좌표평면, 사분면

| 삼각형의 넓이 구하기

일반적으로 삼각형의 넓이는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있습니다.

(삼각형의 넓이) = {(밑변)×(높이)}÷2

중학교 좌표평면 위의 삼각형은 크게 두 유형이 있습니다.

(1) 적어도 하나의 밑변이 x,y축과 일치하거나 나란한 경우

(2) 모든 삼각형의 변이 x,y축과 나란하지 않는 경우

(1)번의 경우 초등학교 때 배운 삼각형의 넓이 공식을 쓸 수는 있지만,

(2)번의 경우 적용하기 어렵습니다.

(1) 적어도 하나의 변이 x,y축과 일치하거나 나란한 경우

세 점 A(3,5), B(-2,3), C(3,3)에 대하여 A,B,C를 꼭짓점으로 갖는 삼각형의 넓이를 구하시오.

세 점을 좌표평면에 나타내어봅시다.

A의 x좌표는 3, y좌표는 5입니다.

B의 x좌표는 -2, y좌표는 3입니다.

C의 x좌표는 3, y좌표는 3입니다.

세 점을 좌표평면으로 나타내면 다음과 같습니다.

세 점을 선분으로 이으면 삼각형 ABC를 만들 수 있습니다.

삼각형 ABC는 직각삼각형이므로

삼각형의 밑변은 선분 BC, 높이는 선분 AC로 놓을 수 있습니다.

따라서 삼각형의 넓이는

{(선분 BC의 길이)×(선분 AC의 길이)}÷2이므로

5×2÷2 = 5

입니다.

(2) 어떠한 변도 x,y축과 서로 나란하지 않는 경우

그림과 같이 A(1,-3), B(-2,1), C(2,2)인 경우 삼각형의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까요?

이 경우 모든 변이 축과 나란하지 않아 밑변과 높이를 구할 수 없습니다.

어떠한 변도 축과 나란하지 않는 경우, 삼각형을 포함하는 직사각형을 통해 넓이를 구할 수 있습니다.

삼각형 ABC를 포함하는 직사각형을 좌표평면에 나타내면 다음과 같습니다.

직사각형의 넓이(붉은색 부분)는 가로의 길이가 4, 세로의 길이가 5이므로

20입니다.

여기서 삼각형 ABC가 아닌 영역(연노란색 부분)을 빼면 삼각형 ABC의 넓이를 구할 수 있습니다.

연노란색 세 부분의 넓이는 각각

(4×1)÷2

(3×4)÷2

(1×5)÷2로

2, 6, 5/2입니다.

따라서 연노란색 부분의 합은 21/2입니다.

(직사각형의 넓이)-(연노란색의 넓이)

입니다.
[정리] 삼각형의 변 중 축과 나란한 변이 있을 경우

1) 축과 나란한 변을 밑변으로 잡고, 밑변의 길이를 구한다.

2) 밑변에 수직인 높이의 길이를 구한다.

3) 밑변과 높이의 길이를 이용해 삼각형의 넓이를 구한다.
[정리] 삼각형의 어떤 변도 축과 나란하지 않을 경우

1) 삼각형을 포함한 직사각형을 그리고, 직사각형의 넓이를 구한다.

2) 직사각형에서 삼각형에 포함되지 않은 세 영역(직각삼각형)의 넓이를 구한다.

3) 1)-2)를 계산하여 삼각형의 넓이를 구한다.

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좌표평면 위의 세 점을 찍고 삼각형을 그려본 뒤, 삼각형의 넓이를 어떻게 구할 수 있을지 생각해보아야 합니다. 상황에 알맞게 넓이를 구하는 전략을 세우고, 문제 풀이에 적용해보도록 합니다. x,y좌표에 알맞은 점을 찍어야 알맞은 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

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