Top 32 선형 대수 Span Trust The Answer

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선형생성(線型生成, linear span) 또는 선형포(線型包, linear hull)는 선형대수학 또는 함수해석학에서 어떤 벡터공간이 모든 부분공간의 교집합일 때 그 벡터공간의 벡터의 집합이다.

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linear algebra lesson 24: linear combination and span [ssootube]

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선형생성 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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09 선형 독립(Linear independence), Span, 기저(Basis) 그리고 차원(Dimension) · linear algebra

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1 정의

2 특징속성

3 예

4 기저 여부 확인법

1 정의

2 Column space의 차원

3 Null space의 차원

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[Linear Algebra] Lecture 9 선형 독립(Linear independence), Span, 기저(Basis) 그리고 차원(Dimension) :: Learn Again! 러너게인

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[Linear Algebra] Lecture 9 선형 독립(Linear independence) Span 기저(Basis) 그리고 차원(Dimension)

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[선형대수학] 1.3 벡터 방정식 – Vector Equations – Span{}, 선형 결합, 벡터의 대수학적 성질

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[선형대수학] 13 벡터 방정식 – Vector Equations – Span{} 선형 결합 벡터의 대수학적 성질

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[선형대수] 2. 선형 결합, span, 기저 벡터 : 네이버 블로그

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벡터의 Linear Independence(선형독립)와 Basis(기저벡터)

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[선형대수] 독립과 span

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R, Python 분석과 프로그래밍의 친구 (by R Friend) :: [선형대수] 벡터공간(vector space), 벡터 부분공간(vector subspace), 생성공간(span), 차원(dimension)

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[선형대수] 벡터공간(vector space) 벡터 부분공간(vector subspace) 생성공간(span) 차원(dimension)

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[선형대수]vector, span, column space, null space, dimension, rank

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Vector space

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선형생성(線型生成, linear span) 또는 선형포(線型包, linear hull)는 선형대수학 또는 함수해석학에서 어떤 벡터공간이 모든 부분공간의 교집합일 때 그 벡터공간의 벡터의 집합이다. 고로 벡터들의 집합의 선형생성은 선형공간이다.

어떤 체 K {\displaystyle K} 에 대한 어떤 벡터공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌을 때, 어떤 벡터들의 집합 S {\displaystyle S} (유한집합일 필요는 없음)의 생성은 V {\displaystyle V} 의 S {\displaystyle S} 를 포함하는 모든 부분공간의 교집합 W {\displaystyle W} 로 정의된다. 이때 W {\displaystyle W} 를 S {\displaystyle S} 또는 S {\displaystyle S} 의 벡터들에 의해 생성된 부분공간이라 한다. 역으로 S {\displaystyle S} 는 W {\displaystyle W} 의 생성집합이라 불리며, 우리는 S {\displaystyle S} 가 W {\displaystyle W} 를 생성한다고 서술한다.

달리 서술하면 S {\displaystyle S} 의 생성은 S {\displaystyle S} 의 원소들의 모든 유한선형결합의 집합으로 정의될 수 있다.

span ⁡ ( S ) = { ∑ i = 1 k λ i v i | k ∈ N , v i ∈ S , λ i ∈ K } . {\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}{\Big |}k\in \mathbb {N} ,v_{i}\in S,\lambda _{i}\in \mathbf {K} }\right\}.}

[Linear Algebra] Lecture 9 선형 독립(Linear independence), Span, 기저(Basis) 그리고 차원(Dimension)

이번 포스팅에서는 크게 세 가지 주제를 다룰 것이다. 매우 중요한 개념들이니 잘 숙지하도록 하자.

먼저 선형 독립(Linear independence)에 대하여 이야기하고, Span과 기저(Basis), 그리고 차원(Dimension)에 대하여 다루도록 하겠다. 이 용어들의 정확한 의미를 파악해 보도록 하자.

1. 선형 독립(Linear independence)

– background:

선형 독립을 설명하기 위해서 먼저 지난 Lecture 7에서 배웠던 내용을 잠깐 복습해보자.

어떤 행렬 A의 크기가 m by n이라고 가정하자. 이때 column의 수 n이 row의 수 m보다 더 크다고 가정해보자. 즉 m < n이다. 이는 다시 말하면 미지수(unknown)의 개수가 방정식(equation)의 개수보다 더 많다는 이야기이다. 이 경우 행렬 A에 대해서 Ax=0에 대한 0이 아닌 해가 존재한다. 즉 Null space가 존재한다는 것이다. 어째서 해가 존재할까? 우리는 이를 알아낼 수 있는 확실한 알고리즘을 이미 공부했다. 소거(elimination)를 통해 행렬을 echelon form으로 만드는 과정에서 pivot이 존재하게 되는데, pivot은 row의 개수보다 많을 수 없다. 여기서의 행렬 A는 column의 수 n이 row의 수 m보다 많기 때문에 반드시 pivot이 없는 column이 존재하게 되는데, 이 column이 바로 free column이고 free column에 대응되는 미지수가 바로 free variable이다. 결국 행렬 A가 m < n인 경우, 반드시 1개 이상의 free variable이 존재하기 때문에 Ax=0에 대한 0이 아닌 해, Null space가 존재하게 된다. 정확히는 n-r(rank)개의 free variable이 존재하게 된다. 우리는 이 free variable에 0이 아닌 어떤 임의의 값을 설정한 뒤 pivot variable에 대해서 방정식을 풀게 되면 그 해가 Ax=0을 만족하는 0이 아닌 값들이 되어 Null space를 형성한다. (※자세한 사항은 lecture 7 참조) - linear independence: 지금까지 위에서 설명한 내용은 선형 독립을 설명하기 위한 배경 지식이다. 이제 선형 독립(Linear independence)에 대해 알아보도록 하자. 벡터가 독립(Independence)이라는 것은 어떤 의미일까? 함축된 정의를 내리기전에 직접적인 의미를 생각해보자. 독립(Independence)의 의미: 벡터 x1, x2, ... xn이 있을 때, 만약 모든 계수(coefficient)가 0인 경우를 제외하고 어떠한 선형 조합(Linear combination)으로도 0을 만들 수 없다면 이 벡터들은 독립(Independent)이다. 즉 위의 말을 다시 풀어서 써보자면 어떤 벡터 x1, x2가 있다고 했을 때, 이들의 선형 조합을 c1x1 + c2x2 라고 하자. 이때 c1=0, c2=0인 경우를 제외하고 c1, c2에 어떠한 임의의 값을 넣어서 선형 조합 연산을 했을 때 그 어떠한 값을 넣어도 결과 값이 0이 나오지 않는다면 x1과 x2는 독립이다. 반대로 임의의 c1, c2값으로 선형 독립 연산을 했을 때 결과 값이 0인 경우가 발생한다면 x1과 x2는 종속(dependent)관계이다. 말로만 설명하면 이해가 잘 가지 않을 수 있으니 그림을 예로 들어 이해해보자. 아래 그림의 2차원 평면상의 두 벡터를 보자. 위 그림에서 두 개의 벡터 v1, v2가 있다. v2는 v1의 두 배에 달하는 길이를 가지고 있고 방향도 같다. 이들은 독립(Independent)일까 종속(dependent)일까? 당연히 종속(dependent)이다. 위의 정의에 따르면 v1의 두배에서 v2를 빼면 0이 되기 때문이다. 즉 위의 정의에 의해 c1=2, c2=1일때의 선형 조합을 통해 0이 만들어지기 때문에 v1과 v2는 종속관계이다. 이번엔 직관적인 관점으로 보자. v1과 v2는 2차원 평면상에 존재하지만, 방향이 같다. 이는 같은 직선 상에 위치한 것을 의미하며 2차원 평면상에 존재하지만 이 두 벡터로는 1차원밖에 정의할 수 없다는 의미다. 이 말을 위의 독립에 대한 정의와 연결지어 생각해보자. 여기에서의 선형 조합(linear combination)이라는 것(일반적인 경우는 아님)은 사실 벡터는 변함없이 그대로이고 상수값 c만 바뀌게 된다. 이것이 의미하는 것은 벡터의 방향은 변함이 없고 크기만 바뀌게 되는데, 선형 조합에 이용되는 벡터들의 크기만을 조절하여 0을 만들기 위해선(모든 c가 0인 경우는 제외함) 반드시 벡터들의 방향이 같아야만 한다. 결국 모든 계수가 0인 경우를 제외하고 선형 조합을 통해 결과가 0이 된다는 것은 두 벡터의 방향이 같아야만 성립되기 때문에 그림으로 판단하는 독립에 대한 우리의 직관과 위의 조건이 일치하는 것을 알 수 있다. 이번엔 약간 특이한 경우를 살펴보자. 위 그림처럼 v1벡터가 있고, v2가 0인 경우에 이들은 독립일까? 이들 역시 종속(dependent)이다. 계수 c가 모두 0인 경우를 제외한다고 해보자. v1에 0을 곱하고 v2에 어떠한 수를 곱해도 결과는 0이 될 수밖에 없다. 결국 n개의 벡터 중 하나라도 0벡터일 경우엔 종속(dependent)이다. 이번엔 독립(Independence)인 경우를 살펴보자. 2차원 평면에서 두 개의 벡터가 아래와 같이 있으면 독립이다. 위 그림에서 두 벡터 v1과 v2를 이용하여 어떠한 선형 조합을 한다해도 0을 만들 수는 없다(c1, c2가 모두 0인 경우는 제외). 이를 직관적으로 봤을 때도 v1과 v2를 이용하여 2차원 공간상의 어떤 벡터도 만들어낼 수 있기 때문에 이 둘은 독립이다. 그렇다면 아래 그림과 같이 여기에 v3가 추가되면 어떨까? 이 경우에도 이들은 독립일까? 이들은 독립일까 종속일까? 이들은 종속(dependent)이다. 이를 어떻게 알 수 있을까? 우리가 이번 포스팅의 맨 처음에서 공부했던 background를 통해서 알 수 있다. 즉 background에서 공부했던 m

Span{}, 선형 결합, 벡터의 대수학적 성질

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이번 포스팅에서 공부할 것은 다음과 같습니다.

vectors in $R^n$ : algevraic propreties(대수학적 성질)

linear combination(선형 결합)과 vector equation(벡터 방정식)의 관계

Span{}

1. 2차원 실수체계에서의 벡터 – Vectors in $R^2$

$R^2$가 의미하는 것은 2차원 실수체계를 의미합니다.

벡터의 표현 방법으로는 3가지가 있습니다.

(1) 대괄호

(2) 좌표

u=(3,-1), v=(.2,.3)

(3) 화살표

원점에서부터 vector point까지 화살표를 그려 표현합니다.

2. 벡터 덧셈 – Vector summation

2차원 실수체계 공간에서 두 개의 벡터가 주어졌을 때 덧셈을 할 수 있습니다.

3. 스칼라 곱 – Scalar multiplication

스칼라와 벡터를 곱할 수 있습니다.

스칼라는 단 하나의 값을 의미합니다.

scalar와 vector을 곱하면 vector의 차수를 따르게 됩니다.

4. 2차원 실수체계 공간에서의 기하학적 표현 – Geometric descriptions of $R^2$

벡터를 기하학적으로 표현할 수 있습니다.

(1) 벡터의 덧셈 기하학적 표현

원점에서 vector point까지 화살표를 그리면 됩니다.

(2) 스칼라 곱 기하학적 표현

이 의미는 스칼라곱으로 u벡터와 동일선상에 있는 모든 것을 표현할 수 있습니다.

5. 3차원 실수체계에서의 벡터 – Vectors in $R^3$

3차원 공간에서 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

6. n차원 실수체계 공간에서의 벡터 – Vectors in $R^n$

3차원이 넘어가게 되면 사람이 상상하기가 어렵습니다.

하지만 단순히 $R^n$으로 벡터를 확장하는 것은 쉽습니다.

7. $R^n$공간에서 대수학적 성질 – Algebraic properties of $R^n$

이 성질은 얼핏보면 당연해보이지만 이 8가지 성질이 만족하지 않는 세계도 있습니다.

벡터는 위 8가지 성질을 만족합니다.

8. 선형 결합 – Linear combinations

$R^n$ 공간에서 vector와 scalar가 주어졌을 때 vector Y를 정의할 수 있습니다.

이것을 weights($c_1, … , c_p$)가 있는 $v_1, … ,v_p$의 선형 결합(linear combination)이라고 합니다.

weights는 각각의 vector에 곱해진 scalar를 의미합니다.

9. 벡터 방정식은 선형 시스템의 첨가행렬과 같은 해를 갖고 있다.

vector equation과 augmented matrix는 same solution set을 갖고 있습니다.

살펴보겠습니다.

$a_1, a_2, b$가 주어졌을 때 $a_1, a_2$의 선형 결합(linear combination)으로 b를 표현할 수 있습니다.

이제 이 augmented matrix에 row reduction을 이용해 reduced echelon form을 얻고 solution을 도출할 수 있습니다.

$x_1=3, x_2=2$의 solution을 구했습니다.

10. Span{$v_1, … ,v_p$}의 의미

$v_1, … ,v_p$가 있을 때 span은 $c_1v_1 + … + c_pv_p$ 형태의 linear combination을 의미합니다.

즉, span은 linear combination을 간단히 표현한 것입니다.

11. 3차원 실수 공간에서 Span{v}와 Span{u,v}의 기하학적 표현

Span{v}는 3차원에서 직선

Span{u,v}는 3차원에서 평면으로 나타낼 수 있습니다.

u와 v는 방향이 다른 벡터라는 조건에서 span{u,v}로 표현할 수 있습니다.

12. b가 Span{$a_1, a_2$}에 존재하는지 확인하기

a1, a2, b를 augmented matrix로 표현하고 row reduction을 통해 reduced echelon form을 만들어 solution을 확인해보면 풀 수 있습니다.

augmented matrix로 표현

3번째 방정식이 0=-2입니다.

이는 이론2에 의하면 no solution을 의미합니다.

따라서 b는 span{a1,a2}에 없습니다.

b is not in Span{$a_1, a_2$}

David C.Lay 의 Linear algebra and its application를 공부하면서 정리해보았습니다. 감사합니다.

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